El angulo entre 2 vectores

a•b = ǀaǀ ǀbǀ cos Ǿ

cos Ǿ = (a•b / ǀaǀ ǀbǀ)

Ǿ = cos -1(a•b / ǀaǀ ǀbǀ)


Ejemplo

a=(2,2,-1)         b=(5,-3,2)

ǀaǀ=√ 2²+ 2²+ (-1)²          ǀbǀ=√ 5²+ (-3)²+ (2)²

ǀaǀ =√9 = 3                      ǀbǀ=√25+9+4 

                                       ǀbǀ=√38

cos Ǿ = (a•b / ǀaǀ ǀbǀ) = (2)(5)+(2)(-3)+(-1)(2) / 3√38 = 10-6-2/3√38 = 2 / 3√38

Ǿ= cos-1 (2 / 3√38) = 84º

Ortogonalidad

a y b son ortogonales si y solo si a•b=0

Ejemplo 

2i+2j-k            y      5i-4j+2k

(2,2,-1) • (5,-4,2) =  10-8-2 = 0  son ortogonales

EjemplO

a= (1,2,3)

ǀaǀ=√1²+ 2²+ 3²  =√14


cos α = 1/ √14           α= COS-1 (1/√14) = 74.49 = 74º

cos β = 2/ √14           β= COS-1 (2/√14) = 57.67 = 58º

cos γ = 1/ √14           γ= COS-1 (3/√14) = 36.69 = 37º